مثير للإعجاب

ما هو الاحتمال الشرطي؟

ما هو الاحتمال الشرطي؟

مثال مباشر على احتمال مشروط هو احتمال أن تكون البطاقة المستخرجة من مجموعة البطاقات القياسية ملكًا. هناك ما مجموعه أربعة ملوك من أصل 52 بطاقة ، وبالتالي فإن الاحتمال هو ببساطة 4/52. يتعلق هذا الحساب بالسؤال التالي: "ما هو احتمال أن نرسم ملكًا نظرًا لأننا قد سحبنا بالفعل بطاقة من على سطح السفينة ومن ace؟" هنا نعتبر محتويات مجموعة البطاقات. لا يزال هناك أربعة ملوك ، ولكن يوجد الآن 51 بطاقة فقط على سطح السفينة. احتمال رسم الملك بالنظر إلى أن الآس قد تم رسمه بالفعل هو 4/51.

يتم تعريف الاحتمال الشرطي على أنه احتمال وقوع حدث نظرًا لوقوع حدث آخر. إذا قمنا بتسمية هذه الأحداث ا و ب، ثم يمكننا الحديث عن احتمال ا معطى ب. يمكن أن نشير أيضا إلى احتمال ا معتمد على ب.

الرموز

يختلف تدوين الاحتمال الشرطي من كتاب مدرسي إلى كتاب مدرسي. في جميع الرموز ، تشير الدلائل إلى أن الاحتمال الذي نشير إليه يعتمد على حدث آخر. واحدة من أكثر الرموز الشائعة لاحتمال ا معطى ب هو ف (أ | ب). تدوين آخر يستخدم هو Pب( ا ).

معادلة

هناك صيغة لاحتمال الشرطي الذي يربط هذا إلى احتمال ا و ب:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

ما تقوله هذه الصيغة بشكل أساسي هو حساب الاحتمال الشرطي للحدث ا نظرا لهذا الحدث ب، نقوم بتغيير مساحة عينة لدينا تتكون فقط من المجموعة ب. في القيام بذلك ، نحن لا نفكر في كل الحدث ا، ولكن فقط جزء من ا التي ترد أيضا في ب. يمكن تعريف المجموعة التي وصفناها للتو بعبارات أكثر دراية كتقاطع لـ ا و ب.

يمكننا استخدام الجبر للتعبير عن الصيغة أعلاه بطريقة مختلفة:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

مثال

سنعود إلى المثال الذي بدأناه في ضوء هذه المعلومات. نريد أن نعرف احتمال رسم ملك بالنظر إلى أن الآس قد تم رسمها بالفعل. وبالتالي الحدث ا هو أن نرسم الملك. هدف ب هو أن نرسم الآس.

احتمال حدوث كلا الحدثين ونرسم الآس ومن ثم يتوافق الملك مع P (A ∩ B). قيمة هذا الاحتمال هي 12/2652. احتمال الحدث ب، أن نرسم الآس هو 4/52. وبالتالي نستخدم صيغة الاحتمال الشرطي ونرى أن احتمال سحب ملك معين من الآس قد تم رسمه (16/2652) / (4/52) = 4/51.

مثال آخر

على سبيل المثال ، سنلقي نظرة على تجربة الاحتمالات حيث نطرد زهرتين. والسؤال الذي يمكن أن نطرحه هو: "ما هو احتمال أننا تراجعت ثلاثة ، بالنظر إلى أننا قد تراجعت بمبلغ أقل من ستة؟"

هنا الحدث ا هو أننا توالت ثلاثة ، والحدث ب هو أننا توالت مبلغ أقل من ستة. هناك ما مجموعه 36 طرق للفة اثنين من الزهر. من بين هذه الطرق الـ 36 ، يمكننا جمع مبلغ أقل من ستة من كل عشر طرق:

  • 1 + 1 = 2
  • 1 + 2 = 3
  • 1 + 3 = 4
  • 1 + 4 = 5
  • 2 + 1 = 3
  • 2 + 2 = 4
  • 2 + 3 = 5
  • 3 + 1 = 4
  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5

أحداث مستقلة

هناك بعض الحالات التي الاحتمال المشروط لل ا نظرا لهذا الحدث ب يساوي احتمال ا. في هذه الحالة ، نقول أن الأحداث ا و ب مستقلة عن بعضها البعض. تصبح الصيغة أعلاه:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B) ،

ونحن استعادة الصيغة التي للأحداث المستقلة احتمال كليهما ا و ب تم العثور عليه بضرب احتمالات كل من هذه الأحداث:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

عندما يكون حدثان مستقلان ، فهذا يعني أن حدثًا واحدًا ليس له تأثير على الآخر. التقليب عملة واحدة ثم أخرى مثال على الأحداث المستقلة. عملة واحدة الوجه ليس له تأثير على الآخر.

التحذيرات

كن حذرًا جدًا في تحديد الحدث الذي يعتمد على الآخر. بشكل عام ف (أ | ب) لا يساوي ف (ب | أ). هذا هو احتمال ا نظرا لهذا الحدث ب ليس هو نفسه احتمال ب نظرا لهذا الحدث ا.

في مثال أعلاه ، رأينا أنه عند تدوير نردتين ، فإن احتمالية تدور النرد ثلاثة ، بالنظر إلى أننا قمنا بتدوير مبلغ أقل من ستة كان 4/10. من ناحية أخرى ، ما هو احتمال تداول مبلغ أقل من ستة بالنظر إلى أننا قمنا بتدوير ثلاثة؟ احتمال المتداول ثلاثة ومبلغ أقل من ستة هو 4/36. احتمال المتداول واحد على الأقل ثلاثة هو 11/36. إذن الاحتمال الشرطي في هذه الحالة هو (4/36) / (11/36) = 4/11.


شاهد الفيديو: Conditional Probability. الاحتمال الشرطي (ديسمبر 2020).